Сначала необходимо определить структуру данного предложения. В данном случае это сложноподчиненное предложение, главное частью которого является "сидели матушка и Аркадий Иванович", а придаточная часть - "за круглым столом под большой лампой с книгами". При этом члены предложения распределяются следующим образом:
- Подлежащее: матушка и Аркадий Иванович.
- Сказуемое: сидели.
- Дополнение: за круглым столом.
- Обстоятельства:
- Места: под большой лампой.
- Способа: с книгами.
Таким образом, синтаксический разбор данного предложения позволяет определить структуру и взаимосвязь между его частями, что помогает лучше понять его смысл и передать информацию более точно.