Деепричастные обороты в русском языке — это конструкции, в которых деепричастия (особая форма глагола) служат для указания на дополнительное действие, сопровождающее основное. Деепричастные обороты обособляются запятыми.
Давайте найдем и выделим деепричастные обороты в вашем тексте:
Лисицы поселяются, на склонах оврагов и холмов //избирая// участки с песчаным грунтом, защищенные от заливания дождевыми или талыми водами.
- Здесь деепричастие "избирая" указывает на дополнительное действие, которое сопровождает основное — "поселяются".
Спокойно идущая лисица следует по прямой, //оставляя// на снегу четкую цепочку следов.
- Деепричастие "оставляя" описывает дополнительное действие к основному — "следует".
Испуганное животное может бежать очень быстро, буквально распластавшись над землей и далеко //вытянув// хвост.
- Деепричастие "вытянув" описывает дополнительное действие, которое происходит одновременно с основным — "бежать".
Замечательное зрелище представляет лисица, //занимающаяся// зимой мышкованием.
- Деепричастие "занимающаяся" указывает на дополнительное действие, которое сопровождает основное — "представляет".
Войдя в азарт, она то //прислушивается// к писку грызунов, то делает грациозный прыжок, то начинает быстро рыться, //разбрасывая// вокруг снежную пыль.
- Деепричастие "войдя" указывает на предшествующее действие, а "разбрасывая" — на дополнительное действие, сопровождающее основное "рыться".
Таким образом, текст с выделенными деепричастными оборотами и корректно расставленными запятыми будет выглядеть следующим образом:
Рыжая лисица наиболее распространена и известна на территории нашей страны. Чаще всего лисицы поселяются, на склонах оврагов и холмов, //избирая// участки с песчаным грунтом, защищенные от заливания дождевыми или талыми водами. Охотится она в разное время суток. Поразительные повадки обнаруживает она при охоте. Почти у всех народов она является символом хитрости и ловкости. Спокойно идущая лисица следует по прямой, //оставляя// на снегу четкую цепочку следов. Испуганное животное может бежать очень быстро, буквально распластавшись над землей и далеко //вытянув// хвост. Замечательное зрелище представляет лисица, //занимающаяся// зимой мышкованием. //Войдя// в азарт, она то //прислушивается// к писку грызунов, то делает грациозный прыжок, то начинает быстро рыться, //разбрасывая// вокруг снежную пыль. При этом хищница настолько увлекается, что подпускает к себе очень близко.