Правильный вариант написания — "третье марта".
В русском языке при обозначении чисел в дате используются порядковые числительные. "Третье" — это порядковое числительное среднего рода. Слово "третее" является ошибочным и не соответствует нормам русского языка.
Разберём подробнее:
Порядковые числительные. Они указывают на порядок предметов при счете и отвечают на вопрос "какой по счету?". В данном случае "третий" указывает на третью позицию в последовательности.
Род. Поскольку слово "марта" женского рода, а слово "число" — среднего рода (подразумевается "третье число марта"), употребляется форма среднего рода числительного — "третье".
Склонение числительных. Порядковые числительные склоняются по родам, числам и падежам, как прилагательные. Здесь используется форма именительного падежа среднего рода — "третье".
Таким образом, правильное написание будет "третье марта".